Derivadas 

Primera derivada total:

t'=y^2z^3 + 2xyz^3 + 3z + 3z^2xy^2 +3y

2°)Segundas derivadas parciales:
d2t/dx^2=2yz^3 + 3z^2y^2
d2t/dy^2=2yz^3+2xz^3+6z^2xy + 3
d2t/dz^2=3z^2y^2 +6z^2xy +3 +6zxy^2.
Segunda derivada total:
t"=4yz^3 + 6z^2y^2 +12z^2xy + 2xz^3 + 6zxy^2 +6

Derivada de una función constante

Sea una función constante f(x) = C.

Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x), f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que

Luego la derivada de una constante es siempre cero.

Derivada de la función exponencial

La derivada de la función exponencial e igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.

Derivada de la función exponencial de base e

La derivada de la función exponencial de base e ea igual a la misma función por la derivada del exponente.

Ejemplos

Derivada de una raíz

La derivada de la raíz enésima de una función es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raíz enésima de la función radicando elevada a n menos uno.

Derivada de la raíz cuadrada

La derivada de la raíz cuadrada de una función es igual a la derivada del radicando partida por el duplo de la raíz.

Ejemplos

Ejemplos

Derivación Implícita

Funciones explícitas y funciones implícitas

En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita,como en la ecuación

Dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.

Si queremos hallar la derivada    para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x ^-1, obteniendo su derivada fácilmente: .

   .

El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación. El problema es que sino se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo hallar dy/dx para la ecuación x² - 2y³ + 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x?

El método de regla de la cadena para funciones implícitas

Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.

Ejemplo 1:

 Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.

Ejemplo 2:

 Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.

Ejemplo 3:

Hallar , de la función implícita:

Aplicando la notación , a cada término y extrayendo las constantes;

.

En el primer término las variables coinciden, se deriva normalmente, en el segundo término se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo en el tercer término.

.

La regla de la cadena se aplica el término , como puede observarse a continuación claramente en el segundo paréntesis,

quitando paréntesis y ordenando los términos,

,

pasando algunos términos al lado derecho,

extrayendo el factor común ,

y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida:

dy/dx con derivadas parciales

Mucho del trabajo anterior podría omitirse se usáramos la fórmula siguiente:

donde , representa la derivada parcial de la función f, con respecto a x,

y , representa la derivada parcial de la función f, respecto a la variable y.

Ejemplo 4:

Hallar , de la función implícita:

Solución:

Primero,

segundo,

ahora el cociente,

acomodando el signo menos en el numerador, obtenemos el resultado: