domingo, 7 de noviembre de 2010

Solución problema lata

Obtener el mínimo de metal para crear una lata
v=πr^2h
P=(2π
r)^2+2h
P=4πr^2+2h
P=(P-4πr)/2
A=2πr
A=2πr((P-4πr)/2)
A=(2πrP-8π^2 r^2)/2
A=πrP-4π^2 r^2
D"A=πP-8π^2 r
D"=-8π^2 máximo en r=p/8π
R=πP/(8π^2 )
R=P/8π
A=πP*P-4π^2 (
P/8)^2
A=(
P/8)^2-4π^2 (P/(64π^2 ) )^2
A=(
P/8)^2-(P/16)^2
A=π
(P)^2 [1/8-1/16]
A=(
P/16)^2
2/16=1/16
A=((
P)^2)/16

Comprobación

P=4πr+2h⟶h= (P-4πr)/2
A=(
(P^2))/16
R=P/8π⟶2= P/8π
A=
(16π)^2/16= (256 π^2)/16
A=16π^2
16π=P
P=16π
h=16π-8π
h=
(8π)^2/2h=4π

OPTIMIZACION 2


Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución

sábado, 6 de noviembre de 2010

Optimizacion 1 

1.El valor de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Divide un diamante de 2 g en dos partes de forma que la suma de los valores de los dos diamantees formados sea mínima.
Solución
Solución
Solución
El diamante se ha de dividir en dos partes iguales de 1 g.



2.Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, gira alrededor de su altura engendrando un cono. ¿Qué valor debe darse a la base para que el volumen del cono sea máximo?
Triángulo
Resolución
Resolución
Resolución
Resolución
Resolución
Resolución
Resolución
Resolución
Derivada segunda
Derivada segunda
Derivada segunda



3.Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Criterios de la primera y segunda derivada 


criterios de la primera derivada


La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:

1.- Cuando la derivada es positiva la función crece.
2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece.
3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.

Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b  con a<c<b tales que

1.-  es continua en el intervalo abierto (a,b) (de acuerdo con el teorema de Rolle)
2.- f es derivable en el intervalo abierto (a,b), excepto quizá en c;
3.- f´(x) es positiva para todo x<c en el intervalo y negativa para todo x>c en el intervalo.

Entonces f tiene un máximo local en c.

Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar  “positivo”  por “negativo”.



De manera intuitiva podemos observar que para determinar si existe un máximo o un mínimo  basta graficar alrededor de los puntos donde se ha presentado un cambio de signo Es también importante tener en consideración que el termino alrededor del cambio de signo de la derivada de la función es muy relativo y es este punto donde tenemos que tener la máxima consideración.
Un punto mas a considerar es el tener en cuenta que solo es necesario considerar no solo el cambio de signos para la derivada Por ejemplo, para el caso de la función:


la función entre el intervalo (-1,1) tiene un cambio de signo, sin embargo, la función no es diferenciable en el punto x = 0, pese a eso si existe un mínimo local.


criterios de la segunda derivada 
no de los ordenes de derivación es el de la segunda derivada, aunque no es despreciable la utilización de las derivadas de orden superior, sobre todo en cálculo de errores. Curiosamente las aplicaciones físicas implican, por lo general, derivadas de segundo orden como podría ser las ecuaciones de movimiento.

En esta sección presentaremos una interpretación gráfica de los criterios de la segunda derivada que nos servirá para poder obtener los máximos o mínimos de una función. Antes de analizar como es la relación de la segunda derivada conoceremos algunas definiciones:

Definición.

Cóncava hacia abajo. Se dice que una función es  cóncava  hacia abajo cuando la primera derivada es  creciente en un intervalo abierto (a,b)




Definición.
Puntos de inflexión y número de inflexión. Sea una función y a un número. Supongamos que existe números b y c tales queb<a<c  y además:

a)      es una función continua en el intervalo abierto (b,c)
b)      es una función cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo en (a,c), o viceversa.

Bajo las condiciones anteriores el punto (a,f(a)) se llama punto de inflexión, y al número a se llama número de inflexión.

Si la segunda derivada f´´ de una función f es positiva en un intervalo abierto (a,b) es porque la primera derivada  es creciente en ese  intervalo.






Máximos y 
Mínimos

"Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo abierto I que contiene a c. Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces f(c) puede clasificarse como sigue."
1. Si f'(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)).
2. Si f'(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)).
3. Si f'(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo. El criterio no decide.


MÁXIMOS Y MíNIMOS

Recordemos que f derivable, es estrictamente creciente (decreciente) en a si, y sólo si f´(a) >0 (f´(a) <0); lo que geométricamente significa que la pendiente de la recta tangente en dicho punto es positiva (negativa).

Recordemos también que si f derivable posee un máximo o un mínimo relativo en entonces f´(x) = 0; es decir, ese es un punto de tangente horizontal.

Veamos los criterios básicos para decidir si un punto es máximo o mínimo relativo:

1.    Por la definición en un entorno del punto.
2.    Por la variación del signo de la derivada primera en un entorno del punto, aunque la función no sea derivable en dicho punto:
a.   f decreciente en (a,c) y creciente en (c,b) posee un mínimo en (c,f(c)).
b.   f creciente en (a,c) y decreciente en (c,b) posee un máximo en (c,f(c)).

3.     
4.    Por el signo de la derivada segunda en dicho punto (la función ha de ser dos veces derivable).
a.   Si f´(a) = 0 y f´´(x) > 0, f posee en a un mínimo local.
b.   Si f´(a) = 0 y f´´(x) < 0, f posee en a un máximo local.

Interpretación geométrica

Al ser f´(a) = 0, (a,f(a)) es de tangente horizontal.
a.   Si f´´(a) > 0, en un entorno de a es f´´(x) > 0, es decir, las pendientes de las tangentes en dichos puntos aumentan.
b.   Si f´´(a) < 0, en un entorno de a es f´´(x) < 0, es decir, las pendientes de las tangentes en dichos puntos disminuyen.
Recordemos que los máximos y mínimo

arribas absolutos se encuentran entre los extremos relativos y aquellos en los que la función no es derivable o, ni siquiera, continua. 


PUNTO DE INFLEXIÓN

Un punto I(a,f(a)) es de inflexión si en dicho punto la función pasa de cóncava a convexa o viceversa.

Proposición.

Sea f dos veces derivable en a.
Si a es punto de inflexión, entonces f´´(a) = 0

Demostración:
Si  es f´´(a) > 0 ó f´´(a) < 0 y sería convexa o cóncava.

Derivadas 

Primera derivada total:


t'=y^2z^3 + 2xyz^3 + 3z + 3z^2xy^2 +3y

2°)Segundas derivadas parciales:
d2t/dx^2=2yz^3 + 3z^2y^2
d2t/dy^2=2yz^3+2xz^3+6z^2xy + 3
d2t/dz^2=3z^2y^2 +6z^2xy +3 +6zxy^2.

Segunda derivada total:
t"=4yz^3 + 6z^2y^2 +12z^2xy + 2xz^3 + 6zxy^2 +6


Derivada de una función constante
Sea una función constante f(x) = C.
Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x), f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que
Luego la derivada de una constante es siempre cero.

Derivada de la función exponencial


La derivada de la función exponencial e igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.

Derivada de una función exponencial

Derivada de la función exponencial de base e

La derivada de la función exponencial de base e ea igual a la misma función por la derivada del exponente.

Derivada de una función exponencial

Ejemplos


cálculo de derivadas
cálculo de derivadas
cálculo de derivadas
cálculo de derivadas
cálculo de derivadas
cálculo de derivadas
cálculo de derivadas
cálculo de derivadas
cálculo de derivadas
cálculo de derivadas
cálculo de derivadas

Derivada de una raíz


La derivada de la raíz enésima de una función es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raíz enésima de la función radicando elevada a n menos uno.


Derivada de la raíz cuadrada

La derivada de la raíz cuadrada de una función es igual a la derivada del radicando partida por el duplo de la raíz.

Derivada de una función irracional

Ejemplos


Ejemplos

Cálculo de derivadas
Cálculo de derivadas

Cálculo de derivadas
Cálculo de derivadas

cálculo de derivadas
cálculo de derivadas

cálculo de derivadas
cálculo de derivadas

cálculo de derivadas
cálculo de derivadas
cálculo de derivadas
cálculo de derivadas
cálculo de derivadas


Derivación Implícita

Funciones explícitas y funciones implícitas
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita,como en la ecuación


Dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Si queremos hallar la derivada    para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x -1, obteniendo su derivada fácilmente: .
   .


El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación. El problema es que sino se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo hallar dy/dx para la ecuación x2 - 2y3 + 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x?



El método de regla de la cadena para funciones implícitas
Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.
Ejemplo 1:
 Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.

Ejemplo 2:
 Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.

Ejemplo 3:
Hallar , de la función implícita:
Aplicando la notación , a cada término y extrayendo las constantes;
.
En el primer término las variables coinciden, se deriva normalmente, en el segundo término se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo en el tercer término.
.
La regla de la cadena se aplica el término , como puede observarse a continuación claramente en el segundo paréntesis,
quitando paréntesis y ordenando los términos,
,
pasando algunos términos al lado derecho,
extrayendo el factor común ,
y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida:

dy/dx con derivadas parciales
Mucho del trabajo anterior podría omitirse se usáramos la fórmula siguiente:
donde , representa la derivada parcial de la función f, con respecto a x,
, representa la derivada parcial de la función f, respecto a la variable y.
Ejemplo 4:
Hallar , de la función implícita:
Solución:
Primero,
segundo,
ahora el cociente,
acomodando el signo menos en el numerador, obtenemos el resultado: