Criterios de la primera y segunda derivada 

criterios de la primera derivada

La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:

1.- Cuando la derivada es positiva la función crece.

2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece.

3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.

Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b  con a<c<b tales que

1.-  f es continua en el intervalo abierto (a,b) (de acuerdo con el teorema de Rolle)

2.- f es derivable en el intervalo abierto (a,b), excepto quizá en c;

3.- f´(x) es positiva para todo x<c en el intervalo y negativa para todo x>c en el intervalo.

Entonces f tiene un máximo local en c.

Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar  “positivo”  por “negativo”.

De manera intuitiva podemos observar que para determinar si existe un máximo o un mínimo  basta graficar alrededor de los puntos donde se ha presentado un cambio de signo Es también importante tener en consideración que el termino alrededor del cambio de signo de la derivada de la función es muy relativo y es este punto donde tenemos que tener la máxima consideración.

Un punto mas a considerar es el tener en cuenta que solo es necesario considerar no solo el cambio de signos para la derivada Por ejemplo, para el caso de la función:

la función entre el intervalo (-1,1) tiene un cambio de signo, sin embargo, la función no es diferenciable en el punto x = 0, pese a eso si existe un mínimo local.

criterios de la segunda derivada 

no de los ordenes de derivación es el de la segunda derivada, aunque no es despreciable la utilización de las derivadas de orden superior, sobre todo en cálculo de errores. Curiosamente las aplicaciones físicas implican, por lo general, derivadas de segundo orden como podría ser las ecuaciones de movimiento.

En esta sección presentaremos una interpretación gráfica de los criterios de la segunda derivada que nos servirá para poder obtener los máximos o mínimos de una función. Antes de analizar como es la relación de la segunda derivada conoceremos algunas definiciones:

Definición.

Cóncava hacia abajo. Se dice que una función es  cóncava  hacia abajo cuando la primera derivada es  creciente en un intervalo abierto (a,b)

Definición.

Puntos de inflexión y número de inflexión. Sea f una función y a un número. Supongamos que existe números b y c tales queb<a<c  y además:

a)      f es una función continua en el intervalo abierto (b,c)

b)      f es una función cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo en (a,c), o viceversa.

Bajo las condiciones anteriores el punto (a,f(a)) se llama punto de inflexión, y al número a se llama número de inflexión.

Si la segunda derivada f´´ de una función f es positiva en un intervalo abierto (a,b) es porque la primera derivada f´ es creciente en ese  intervalo.

Máximos y 

Mínimos

"Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo abierto I que contiene a c. Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces f(c) puede clasificarse como sigue."

1. Si f'(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)).

2. Si f'(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)).

3. Si f'(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo. El criterio no decide.

MÁXIMOS Y MíNIMOS

Recordemos que f derivable, es estrictamente creciente (decreciente) en a si, y sólo si f´(a) >0 (f´(a) <0); lo que geométricamente significa que la pendiente de la recta tangente en dicho punto es positiva (negativa).

Recordemos también que si f derivable posee un máximo o un mínimo relativo en entonces f´(x) = 0; es decir, ese es un punto de tangente horizontal.

Veamos los criterios básicos para decidir si un punto es máximo o mínimo relativo:

1.    Por la definición en un entorno del punto.

2.    Por la variación del signo de la derivada primera en un entorno del punto, aunque la función no sea derivable en dicho punto:

a.   f decreciente en (a,c) y creciente en (c,b) posee un mínimo en (c,f(c)).

b.   f creciente en (a,c) y decreciente en (c,b) posee un máximo en (c,f(c)).

3.     

4.    Por el signo de la derivada segunda en dicho punto (la función ha de ser dos veces derivable).

a.   Si f´(a) = 0 y f´´(x) > 0, f posee en a un mínimo local.

b.   Si f´(a) = 0 y f´´(x) < 0, f posee en a un máximo local.

Interpretación geométrica

Al ser f´(a) = 0, (a,f(a)) es de tangente horizontal.

a.   Si f´´(a) > 0, en un entorno de a es f´´(x) > 0, es decir, las pendientes de las tangentes en dichos puntos aumentan.

b.   Si f´´(a) < 0, en un entorno de a es f´´(x) < 0, es decir, las pendientes de las tangentes en dichos puntos disminuyen.

Recordemos que los máximos y mínimo

s absolutos se encuentran entre los extremos relativos y aquellos en los que la función no es derivable o, ni siquiera, continua. 

PUNTO DE INFLEXIÓN

Un punto I(a,f(a)) es de inflexión si en dicho punto la función pasa de cóncava a convexa o viceversa.

Proposición.

Sea f dos veces derivable en a.

Si a es punto de inflexión, entonces f´´(a) = 0

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Demostración:
Si  es f´´(a) > 0 ó f´´(a) < 0 y sería convexa o cóncava.

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